芬斯勒几何中的内积不是概念在切丛上的,假按期期和空间的衡量具备如下Finsler方式365体育网址

博士最终的一年多直接在商量的正是Finsler几何及其上的情理。
  然后就平昔认为那货就好像非常不直觉。。。
  最令人以为不对头的,就是对照黎曼几何,芬斯勒几何中的内积不是概念在切丛上的,而是定义在节丛上的,这些特别不自然。
  所以,就直接在思念怎么从一种大相径庭的角度来搞这些难点。
  那正是一份有关的记录。

度岁在家,为了让这几个年有一点点年味,並且也为了纪念立时快要去北漂,所以筹划做点东西,于是就有了那篇小说。


啊,即便有广大测算,但基本依旧三个脑洞,一个Toy 西奥ry。

借使大家早就有了微分结构,但还一直不衡量结构。
  那么此时大家能够获得如何吧?
  协变矢量Vμ与逆变矢量Aμ必然是能够部分,所以大家得以得到各个逆变协变以及混合张量。大家也照样有协变基矢和逆变基矢的对仗关系niμnjμij
  由于协变矢量与逆变矢量的对偶性,我们得以以为它们然则是同三个东西的三种差异表明,所以不要紧就用“矢量”来替代。
  矢量在切空间中的表示便是协变矢量,而在余切空间中的表示正是逆变矢量。
  在独有微分结构为未有衡量结构的时候,我们还是能定义一种“场”,就是在每一点上都能够将TM(m,
n)中的成分映射到TM(p,
q)中,即能够将多个m阶协变n阶逆变的张量映射到三个p阶协变q阶逆变的张量,或许应用以前的双料之后的观点来讲,就是将一个m+n阶张量映射为多个p+q维张量。
  在坐标调换下,上述剧情都可以具有分明的调换法规而不会孳生歧义。
  但,相比风趣的是假若是非坐标调换,比如对已平常的映射F:
TM(1)→TM(1),就如就很难推广到猖狂的TM(m, n)→TM(p,
q)上,除非映射是线性映射,那么能够在操作意义上找到合理的外推。


上面,在如此的上空上引进衡量结构,且不须要该衡量是黎曼的,进而得以是芬斯勒衡量。

若果时间和空间的心胸具备如下Finsler情势:

心胸和内积的涉嫌是可怜有意思的。
  能够说,内积富含了胸怀,因为矢量Vμ与本身的内积正是它的模长的平方,那是内积与胸襟的符合点:〈Vμ,
Vμ〉=|Vμ|2
  在观念的Finsler几何中,从衡量到内积的获得格局是这么的:

365体育网址 1

  对于黎曼衡量,上市左边的度规张量只是地点xμ的函数,进而和矢量yμ非亲非故,由此流形切空间中矢量的内积只和切空间所在地方的度规张量相关,也正是说内积是概念在切丛上的。
  但在Finsler几何中,左边的度规张量不但和地点xμ相关,还与矢量yμ相关,从而现在矢量之间的内积不但和加入内积的多少个矢量以及切空间所在地方相关,还与有个别第三方的矢量相关,从而内积是概念在其节丛上的,而非切丛。
  通过轻易的演绎大家得以知晓,假如要保管古板内积的定义,那么只可以将内积放到节丛上,进而此难题不恐怕幸免。
  但,内积的概念自身是从经验中得来的,而本来的经历中定义在切丛依然节丛上并不曾通晓的验证,即使经历中都是概念在切丛而非节丛上的,所以大家得以方便地摒弃有个别既定经验,非常是从未有过写文章的经验,来布局三个概念在节丛上的内积。
  可,反过来说,大家也得以舍弃一些既定的篇章经验,进而接纳另一条路。
  这么一来,难点就很有趣了——假定内积不是对称的,会什么?

内部第一有的是理念的黎曼型衡量,前面一个为对黎曼型度量的偏离,进而构成Finsler衡量。

从纯几何直观来讲,内积能够被发挥为如此叁个事物:
  矢量V1μ在矢量V2μ方向上的黑影长度与V2μ长度的积,便是V1μ和V2μ的内积。
  采取这么些几何直观的概念,在黎曼几何中,大家轻易评释V1μ到V2μ的内积和V2μ到V1μ的内积是均等的,进而内积是对称的。
  但,在Finsler几何下,这种对称性就被打破了:

这般的Finsler度量平时的话是很难直接求解的,于是大家那边假定:h相当的小,进而具有高阶项都得以忽略

  在这么些定义中,“投影”被定义为从V2μ的端点到V1μ上某一点的距离最短,则该点就是V2μ到V1μ的影子地点。值得注意的是,对于最平常化的Finsler流形,上述的来头假设反过来的话,将交由相去甚远的概念结果,因为在最平时化的Finsler度量中,并不供给如下等式的建构:

那样的话,会为总括带来一定的便民,比方衡量的平方(那么些在Finsler几何中比衡量本人更常用):

  当然,我们仍可以选用将上述定义做二个“代数化”,思念多个海阔天空小变化,进而V1μ变化到V2μ=V1μ+dVμ,那么此时上述内积的概念在无边小范围内能够被发布为尤其简明的样式:

365体育网址 2

在Riemann几何中,上述二种格局的定义是等价的。
  如上定义后,大家本来就获得了从V1μ到V2μ的内积的概念,且那样定义的内积固然是非对称的,但却相符几何直观——即使几何直观这么些要求在真的的几何学看来是多少个流言,但作者个人感到比将内积从切丛搬到节丛要可靠。
  未来内积为一个TM(1)×TM(1)→TM(0)的照射(并非从TM(2)→TM(0)的投射),并记为〈V1μ,
V2μ〉。那样的内积不知足对称性,何况日常也不满意双线性,因为它是惊人方向注重的——那也是Finsler几何和Riemann几何最大的界别,Riemann几何从能够在部分通过坐标调换成成为Minkowski几何,前面一个是主旋律非亲非故的。但非Riemann的Finsler几何无论怎样都不容许通过坐标转换变成Minkowski几何,进而也就一定是趋势依赖的了——在价值观Finsler微分流形中,这种趋势信赖性浮未来内积被定义在节丛上,进而大家始终都急需一个第三方矢量来作为“注重方向”,而现行这种势头信任性映以往内积算符的非对称与非双线性上。


在此基础上,大家当然能够在余切丛上也定义内积,只要经过协变矢量与逆变矢量的对偶性就可以。
  可是由于内积本人生硬信任于矢量,进而对于张量来讲就不设有内积的客体外推。
  事实上,在Riemann几何中,内积原来是概念在TM(1)×TM(1)上的,但鉴于其将内积外推到了度规张量,后面一个的含义远较“内积”本人宽泛与丰硕,进而使得TM(m)→TM(m-2)的照射成为大概。
  因而,度规本人是八个比内积具备更丰裕内涵的几何实体。
  而明天,大家具备的不过是一个二目算符〈,〉:
TM(1)×TM(1)→TM(0),进而并不能做那样轻便的外推,因为那一个算符既然不满意线性供给,那就不能够由此简单的空中央政府机关积来收获推广。
  为此,对于张量的“缩并”(原意是TM(m, n)钦点多少个指标缩并以得到TM(m-1,
n-1),这里给予了扩充)必需运用和内积差别的定义格局,并保障在回来Riemann几何后方可倒退到Riemann几何的结果。
  对这么的“压缩合并”近期个人感到相比较适宜的是因此对目标球的积分来取得,只但是对于积分体元来讲,似乎还未有交给八个较好的概念。
  很显然,在继内积失去对称与双线性那多少个首要特色后,度规张量也错失了概念,而压缩合并也就与内积风流云散了。这里充满了各个陷阱,每多少个都很有希望是的这种内积的概念方式失效,进而只可以回去将内积定义在节丛进而继续保持对称性与双线性的优点但与此同有的时候间不得不引进第三方矢量的症结,这些Finsler微分流形的套路上来。

下一场,大家来看Clifford代数中的叁天性能:

有了内积后,大家自然要问这么三个标题:现在的关系是什么样?
  所谓联络,是将某点切空间中的矢量输运到邻点切空间中的四个映射,进而得以被这么标志:

365体育网址 3

  我们得以进一步以为关系对切空间中的矢量来讲是线性的,进而就有:

此地Q是多少个一遍型,且易于见到它就是衡量的平方(假定Clifford代数定义在一个颇具衡量结构的几何流形上)。

  在怎么着规定联络的实际方式方面,Riemann几何接纳的适配条件是对度规张量的协变微分为零。可我们今后尚未度规张量,从而只可以利用另一种概念格局。
  另一方面,在价值观的Finsler微分几何中,咱们可以小心到在相当的大学一年级类Finsler流形上,连接两点的自平行曲线(即日常所说的“直线”)和连接两点的最短曲线很可能不是平等条直线,也正是说在Finsler流形上相似空头支票“连接两点最短的是直线”那样的几何直观与几何经验。可若是我们供给那点持续维持,会怎么样啊?
  必要那一点持续维持,就等于是说供给自平行曲线必需是极值曲线,即下边多个方程必得同期创设:

Finsler几何当然不是一回型衡量的,所以不可能直接行使上述Clifford代数结构,进而古板的Finsler几何采纳如下格局的概念在节丛上的内积:

  那样,引进协助0阶齐次对称张量

365体育网址 4

以及衡量F是一阶齐次的,大家可以付出联络:

但这种概念的后天不足,正是五个流形上矢量的内积还决议于第五个矢量的势头(因为是概念在节丛上的),这一点本身也会有一点反守旧的。

越来越,利用预设联络对V来讲是线性的,引进上述扶助张量的逆:

那正是说,借使大家这里强行使用Clifford型内积,会赢得什么呢?

以及救助-1阶齐次张量:

最简便的,当然是直接选择如下方式的内积定义:

大家能够有:

365体育网址 5

假使越来越思考到此处矢量Vμ用作方向设有进而不应当显含其对坐标的微分,那么地点的结果能够选择Cμνλ的-1阶齐次的表征而获取结果:

但,大家都了然,Clifford型内积的表示其实也并不独一,比方上边那多少个在叁遍型Q的动静下是等价的:

  可知,定义注重于输运方向的线性的联系函数还是得以创制的。
  这里,联络的首先有个别和观念Riemann几何上的克氏符是一律的,而第二有的中的-1阶齐次张量在Riemann几何中恒为零,进而是Finsler几何上所特有的一对——那点在价值观的Finsler几何中也是那般。
  更加风趣的是,由于-1阶齐次函数的特点,大家得以掌握那第二部分其实能够乘上叁个随意的参数n而不更动结果,因而未来联系事实上能够写为:

365体育网址 6

此地的第二有的在样式上很轻松令人回首Riemann几何中的扰率,但精神上那二者却是特别不平等的,大家实际还足以引进二个独自的不予称张量Tμνλ与Vμ的积TμνλVλ来作为扰率存在而不影响结果。
  由于联系以往依附于方向,进而联络对于输运方向经常是非线性。但对于输运的矢量却是线性的,进而那样的牵连能够对各类张量定义(协变张量的协变微分这里已经提交,而逆变张量的协变微分则足以经过对偶性获得)。况兼,也鉴于联系对输运方向是非线性的,从而未来自发地就能够油不过生扰率(而没有须求引入上述谈到的反对称扰率张量):

但对此Finsler衡量,上述多少个姿态互相之间是不等价的,有其对于一些Finsler衡量,假使不满意强一阶齐次,而是弱一阶齐次,那么此时大家有:

此地后边的隐含联络的局地变给出了扰率算符:

365体育网址 7

  明显,今后扰率的产出是出于衡量的来头信任性而本来引进的,并不需求如Riemann几何中这样额外省给出与度规非亲非故的不予称部分作为扰率。
  进一步大家能够定义Riemann曲率张量:

于是乎下边式子中的矢量差部分Q(u-v)就变得很神秘了,到底是u-v照旧v-u?

进而有:

此处,大家引进第二个假使:Finsler的内积是非对易的。

能够看来,现在本来是张量的扰率和曲率,今后都成了张量性算符,即只要付出方向,便足以付出由那七个样子所鲜明的贰个矢量大概张量。
  假诺大家有了缩并算子,那么就足以应用Riemann曲率算符给出Ricci曲率算符Escortμ(Aμ),接着再利用缩并算子来给出Ricci曲率标量。
  从花样上来讲,今后线性部分代表切丛纤维之间的照射,而作为函数参数的多个方向则统统是流形上的,进而将小小和底流形在样式上加以了界别。
  比较守旧Finsler微分几何,我们开采大多依赖于第三方矢量而定义的曲率张量都未有了,举个例子Flag曲率等等。
  但也不可能说什么样收获都未曾,毕竟以后全体的几何都定义在切丛上,进而将来一旦做物理的话,意义也就更了然了——大家在价值观Finsler微分几何中并不分明这第三方矢量的大要意义是怎样,只好交给种种假定。

那么,今后,我们就动用如下方式的内积来谈谈:


365体育网址 8

啊,差少之甚少就整治成这么了啊。

这几个内积的定义在L为黎曼型衡量的时候自然回归到黎曼型内积,而在非黎曼型的Finsler衡量下,则能交付差异的结果——非常是,如果Finsler度量具备强一阶齐次性,那么那几个内积是对称的;但尽管唯有弱一阶齐次性,那么那么些内积非对称,非对称的一部分能够精晓为扰率。


上面我们用|V|来代表流形上矢量V在起始所说的Finsler型衡量的黎曼部分机能下的长短,进而对于弱Finsler流形,上述内积能够提交如下情势:

正文服从撰写分享CC BY-NC-S科帕奇.0磋商**

365体育网址 9

通过本协议,您能够大饱眼福并修改本文内容,只要您坚守以下授权条目款项规定:姓名标示
非商业性无差异于形式分享
具体内容请查阅上述左券注解。


本文禁绝任何纸媒,即印刷于纸张之上的整整协会,饱含但不胁制转发、摘编的其余利用和衍生。网络平台如需转发必需与小编联系确认。

有了胸怀,大家得以来看流形上的极值曲线:


365体育网址 10

设若喜欢简书,想要下载简书App的话,轻戳这里~~
<small>私人推荐订阅专项论题:《风趣的稿子》《肃穆码匠圈》</small>

以及自平行曲线:

365体育网址 11

在那之中古板偏导是对坐标的偏导,而变分符号在那边表示对矢量部分的偏导,联络函数对第1个变量是一阶齐次的。

设若我们渴求极值曲线与自平行曲线在别的动静下都相当,那么即可赢得联络的发挥:

365体育网址 12

在弱Finsler极限下就有(上标V表示是V的函数):

365体育网址 13

其中

365体育网址 14

于是就有(注意对第4个参数的一阶齐次要求):

365体育网址 15

其中

365体育网址 16

能够看看,这么采用的调换函数,对于多少个参数都是一阶齐次的,算是二个很好的习性。更距离的话,对于方向矢量V不是线性的而只是一阶齐次,而对于被输运矢量A确实线性的。

其一格局当然是非独一的,非常对于一些量到底是选A还是V,其实有比极大的大肆性。这里首要思量的或许关于第二个参数的一阶齐次供给,接着正是尽可能使被输运的矢量的法力轻松,进而一切的纷纷只显示在可行性的挑三拣四上。

从最后的表明来看,联络函数的率先项的率先有个别是价值观黎曼重力项,第二项的第一有的是守旧职业场项。第一项与第二项的第3局地则都是重力与规范场的耦合项,且第一项的第二片段在挑选古板规范场情势的时候自动消失。

而标准场的有个别,在加快度的表达式中,大家能够以为粒子运动的切矢量的长短为常数且模为1,从而第一项是引力加速度,第二项是规范场导致的加快度,第三项则是和进程的三阶项有关,进而会交到高速移动下的高能修正,因而若是那些模型是不利的,那么我们能够预想在高能下会有例外的粒子行为。第四项在古板专门的学业场下自动消失从而不思量。

至于联络函数最后的一些,则是四个非对称项,能够视为扰率,这里不思索。

接下去,让我们斟酌多个很有趣也很有难度,同期也是一个试验性的话题:上述这么些流形上的曲率,是稍微?

尤为,曲率标量途锐今后是何等?


由于我们以后撤消了原来Finsler几何定义在节丛上的度规张量,所以对于如何做内积是一件很难办的事。

即便大家能够透过最先先的办法定义四个矢量的内积,但对此更常见的张量,恐怕是无可奈何的。

为此,这里我们选拔如下方案:

365体育网址 17

其间曲面dΩ是流形上的单位球面,即指标球,而矢量n正是从球心指向单位球面包车型客车单位向量。

因此上述积分获得的标量T,在黎曼几何中与张量T对下标的缩并获得的标量之间,只差一个由流形维度决定的全面。

假如大家将分子被积函数扩充为三个n阶张量与n个单位矢量构成的函数,那么那些积分的天性,正是即便该数中带有奇数十四次个单位矢量,那么那些积分为0;假如带有偶数十二次个,那么会博得非零的结果,在那之中如上花样的三遍形能够提交张量的缩并。

而在弱Finsler流形上,那么些天性会有所差异:由于单位矢量被度量的h部分做了深化,进而有望会在奇多次项中留下非零部分。

专程,当我们着想的是标准场形的弱Finsler流形时,这种“激化”由正规矢量场A给出。

就此,假设我们应用上述积分格局来作为张量缩并的方案以来,那么大家就能够持续研究在如上框架下的流形曲率的主题材料了。

为了轻松起见,我们今日要是上述弱Finsler流形的黎曼衡量部分是Minkowsky的,进而未来流形的关系函数能够写为:

365体育网址 18

到现在大家着想交错协变微分(弱Finsler极限下):

365体育网址 19

接下去,对其考虑前面所说的积分。

第一,将U与A取为眼下所说的单位矢量做积分,接着再给结果和矢量V一同做压缩合并,就可以获得如下结果:

365体育网址 20

里面上标(1)的一部分来自场强H与贰个单位矢量的联手积分,上标(2)的一对来自场强H与四个单位矢量的联合具名积分。

那东西是还是不是望着老大可怜眼熟?

我们将规范矢量场A及其场强F代入:

365体育网址 21

由此,在作为职能量的时候,在全空间积分并忽略边界项后可得:

365体育网址 22

您看,和价值观规范场的功能量就差贰个常数周详,进而可以感觉具备标准场格局的弱Finsler流形当黎曼部分为闵氏衡量的时候给出的正是规范场。

当黎曼部分不是闵氏衡量时候,大家也能够做同样的操作,此时会获取黎曼部分对应的广义相对论的Ricci标量,上述标准场强,以及标准场部分与黎曼重力部分的耦合项。

但,就和粒子运动部分在全速状态下会和理念黎曼几何有出入一样,对于黎曼重力部分不为零的地方,标准场和重力场的耦合的样式和守旧的一龙一猪,由此在高能意况下也是足以证实的。


此处不可不要提出的某个是,上述总计存在几点非常不兢兢业业的地方。

珍视正是对于缩并用的积分的总结,那一个总括在欧氏几何上能够给出所要的结果,在黎曼几何上也足以,但对此时间和空间这种赝黎曼几何,则是存在叁个无穷大发散的,将那一个无穷大发散扣除后的星星部分,能够给出所要的结果。

但这种“正规化”为何可以做,则单独是一种随便的选料,近年来并不知道什么依赖——也许是经过Wick转动,从时间和空间转动到欧氏空间,然后做积分,再转回来,这倒是很守旧的量子场论中用过的伎俩。

一派,即便是黎曼几何上没难题,那个积分在Finsler几何下是不是照旧成立,那就不知底了。当然,这里管理的是弱Finsler几何,所以或然依旧实惠的吗。


终极是一些座谈。

就和紧致化是对蜷缩的额外维做张开后只取一阶项同样,这种弱Finsler几何的法子也是对Finsler衡量做微扰后只取张开的一阶项,两个在那个观念上是同等的,随后的异样就反映在弦论是针对富有额外维的黎曼几何做拍卖,而Finsler几何则是对全部非黎曼衡量的四维Finsler时间和空间做管理。

和一些量子重力的派系(举个例子本次吴岳良院士所使用的从郭汉英等老一辈国内物思想家开摆正是用的Lorentz群标准场的山头)中将广义相对论中作为流形联络的重力变为纤维主丛联络的诀窍区别,这里不再将外延几何转化为内涵几何,而是反过来,将原来作为内蕴的纤维丛性质的标准场视为外延的心气上的Finsler型变化,进而是将内涵几何转化为外延几何。

弦论利用额外维来做这种由内而外的更换,其实也是多个设法。

自然了,至于最后能还是不能够做成,那一个另说,只怕这一个模型始终也可是是二个Toy罢了。

再者,这里时间和空间的心胸就好像是定死的,完全不受带荷粒子所教导的力荷的熏陶,这种对全部物质同等对待的特点,显著会提交不带电粒子的表现也和带电粒子同样这种新奇的事务。由此,或者莫过于情况时间和空间的襟怀会随着在其上移步的粒子的少数品质而退换,也依旧那个模型可是确实就只是多个Toy罢了——个人这两天支持于后世。

何况,这里肯定给出了高能下天渊之隔的行事,那笔者就很有挑战——因为轻松的实验大概就会把那货到底否掉了吧。

自然也会有相当小十分小的或许,大家找到了联合重力与标准场的框架,科科~


正文遵循编写分享CC BY-NC-S杰德.0说道

经过本公约,您能够大快朵颐并修改本文内容,只要您遵从以下授权条约规定:姓名标示
非商业性同等方法分享
具体内容请查阅上述左券证明。

本文幸免全数纸媒,即印刷于纸张之上的总体组织,包罗但不限于转发、摘编的其余利用和衍生。互联网平台如需转发必得与自家联系确认。


假使喜欢简书,想要下载简书App的话,轻戳这里~~
腹心推荐订阅专项论题:《风趣的小说》《庄严码匠圈》