还是能运用在盘算容积上,还足以行使在盘算容积上

  定积分除了总计面积外,还足以应用在总结容量上。

  定积分除了总括面积外,还足以行使在总计容量上。

圆盘法

  一条曲线y =
f(x),如若曲线绕x轴旋转,则曲线经过的区域将形成三个橄榄球形状的体量,如下图所示:

图片 1

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曲线绕x轴旋转七日

  以往要计算体量。大家依然根据黎曼和切片的思路去总括,只然则那回供给一些想象力。

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  将上海教室的矩形绕x轴旋转七日将得到3个半径为y,高度为dx的圆盘:

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矩形框绕x轴旋转一周

  该圆盘的面积S(x)≈π(f(x))2,体量:
Δv ≈ S(x)Δx,借使将整个图形的容积切成n个圆盘:

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  那正是圆盘法。

圆盘法

  一条曲线y =
f(x),要是曲线绕x轴旋转,则曲线经过的区域将形成一个橄榄球形状的容积,如下图所示:

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曲线绕x轴旋转十日

  今后要总括体量。大家照样依照黎曼和切片的思路去计算,只可是那回须要或多或少想象力。

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  将上海教室的矩形绕x轴旋转七日将收获1个半径为y,中度为dx的圆盘:

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矩形框绕x轴旋转二十八日

  该圆盘的面积S(x)≈π(f(x))2,体量:
Δv ≈ S(x)Δx,假设将全数图形的容量切成n个圆盘:

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  那正是圆盘法。

示例

  求半径为a的球的体量。

  通过球体的公式可知,V
=πa3(4/3),若是大家不知底那几个公式,使用圆盘法求解。

  先将球体的最大横截面投影到直角坐标系上,在对圆的上半有些切割,旋转,如下图所示:

图片 11

  圆盘的底面积≈πy2dx,因此能够赢得球体体量:

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  还亟需将y转换为x。遵照上图中圆的公式(x
– a)2 + y2 = a2,可得出y2 =
2ax – x2,于是:

图片 13

  实际上大家赢得了更加多的音讯,假设仅总结部分球体的体积,还是得以行使方面包车型地铁下结论,仅改变积分上限即可,如下图所示:

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  实际上能够把V = π(ax2
x3/三)看作球体切片的公式。

示例

  求半径为a的球的体量。

  通过球体的公式可见,V
=πa3(4/3),若是大家不明白这些公式,使用圆盘法求解。

  先将球体的最大横截面投影到直角坐标系上,在对圆的上半片段切割,旋转,如下图所示:

图片 16

  圆盘的底面积≈πy2dx,由此能够赢得球体体量:

图片 17

  还索要将y转换为x。依据上海体育地方中圆的公式(x
– a)2 + y2 = a2,可得出y2 =
2ax – x2,于是:

图片 18

  实际上大家取得了愈来愈多的新闻,要是仅总括部分球体的容积,如故得以动用方面包车型大巴下结论,仅改变积分上限即可,如下图所示:

图片 19

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  实际上能够把V = π(ax2
x3/3)看作球体切片的公式。

壳层法

  要是坩埚内壁的横截面曲线是y =
x2,深度是a,总括坩埚的体量。

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算算坩埚的体量

  大家照样能够动用圆盘法总括,那是此番是绕y轴转动:

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圆盘法

  圆盘的可观是Δy,所以必要将原函数转换到y关于x的函数,在正半轴上,x
= y1/2

图片 23

  对于本例来说,圆盘法没不日常,要是曲线的公式再复杂一点,就必要在反函数的变换上耗时,借使我们直接纵向切割,使用dx代替dy,就不用对原函数举行转换:

图片 24

  矩形绕y轴转动31日将取得三个圆环,其厚度是dx,半径是x,中度是a
– x2,如下图所示:

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  如若进行圆环,将取得1个底面积是圆环周长,中度是dx的长方体,其体量:

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  因此,坩埚的容量是:

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壳层法

  假如坩埚内壁的横截面曲线是y =
x2,深度是a,总括坩埚的体量。

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计量坩埚的体量

  大家依然能够运用圆盘法总括,那是此次是绕y轴转动:

图片 29

圆盘法

  圆盘的万丈是Δy,所以须要将原函数转换来y关于x的函数,在正半轴上,x
= y1/2

图片 30

  对于本例来说,圆盘法没很是,倘若曲线的公式再复杂一点,就要求在反函数的转移上耗时,假设大家直接纵向切割,使用dx代替dy,就无须对原函数进行更换:

图片 31

  矩形绕y轴转动三十日将获得二个圆环,其厚度是dx,半径是x,高度是a
– x2,如下图所示:

图片 32

  假若进展圆环,将获得3个底面积是圆环周长,中度是dx的长方体,其体量:

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  由此,坩埚的容量是:

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单位发生的悖论

  在计算坩埚的体量时,大家最终收获V =
πa2/二,如若坩埚深度是一m,代入公式获得π/2(m3);现在将1m换到十0cm,因为中度是均等的,所以大家目的在于收获平等的结果,不过代入公式后,最终得到一千0π/二(cm3)=
0.01π/2(m3)相差了100倍!那回有意思了。

  难题出在哪呢?仔细察看最终结出的积分格局:

图片 35

  积分的上限是a1/2,11/2
= 1,1001/2 =
十,因此单位不一样将赢得分歧的结果。实际上那么些公式违背了百分比标准,将拥不平日数学化的还要并从未设想到物工学中的量纲。那就好比重力加速度是九.捌,但以此9.八是有单位的,单位是米每三回方秒,若是长度单位利用厘米,那么些常数九.8也供给相应变更才能适用。

单位产生的悖论

  在计算坩埚的体积时,大家最终取得V =
πa2/二,若是坩埚深度是一m,代入公式获得π/二(m3);未来将1m换来100cm,因为中度是相同的,所以大家希望获得1致的结果,但是代入公式后,最终取得10000π/二(cm3)=
0.01π/2(m3)相差了十0倍!那回有意思了。

  难题出在哪呢?仔细调查最后结果的积分格局:

图片 36

  积分的上限是a1/2,11/2
= 1,1001/2 =
拾,因而单位不一样将获取不一样的结果。实际上那些公式违背了百分比标准,将富有标题数学化的同时并不曾记挂到物医学中的量纲。那就好比引力加速度是9.八,但这几个九.8是有单位的,单位是米每二回方秒,要是长度单位采纳分米,这几个常数九.八也亟需相应变更才能适用。

示例

示例

示例1

  求y = 5和y=x2 +
壹所围图形绕y轴转动后收获的体量。

  用圆盘法总结,圆盘绕y轴转动,如下图所示:

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示例1

  求y = 5和y=x2 +
一所围图形绕y轴转动后收获的体积。

  用圆盘法总计,圆盘绕y轴转动,如下图所示:

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示例2

  求x=4和y=x1/2,x轴所围图形绕x=六旋转后收获的体积。

图片 41

  本例依照壳层法总计,如下图所示:

图片 42

  壳层(或圆环)的高是x1/2,半径是6
– x,厚度是dx:

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  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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示例2

  求x=4和y=x1/2,x轴所围图形绕x=陆筋斗后得到的体积。

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  本例根据壳层法总结,如下图所示:

图片 45

  壳层(或圆环)的高是x1/2,半径是6
– x,厚度是dx:

图片 46

 


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