芬斯勒几哪中的内积不是概念在切丛上之。假定时空之心地具有如下Finsler形式。

研究生最后之平等年多直接当研究的尽管是Finsler几何及其上之物理。
  然后就径直感到这货似乎很无直觉。。。
  最被人口感到尴尬的,就是对照黎曼几何,芬斯勒几何中的内积不是概念在切丛上之,而是定义在节丛上之,这个坏无自。
  所以,就直以考虑怎么由同栽截然不同的角度来整治这个题材。
  这便是如出一辙份有关的笔录。

过年在家,为了为这年起硌年味,而且也为了想这快要去北漂,所以打算开点东西,于是便起矣立篇稿子。


啊,虽然来很多乘除,但中心要一个脑洞,一个Toy Theory。

只要我们早已发出了微分结构,但还无度量结构。
  那么这我们可取得什么啊?
  协变矢量Vμ同逆变矢量Aμ得是得有,所以我们好赢得各种逆变协变以及混合张量。我们也依然有协变基矢和逆变基矢的对仗关系niμnjμij
  由于协变矢量与逆变矢量的对偶性,我们好当它而是暨一个事物的少种不同表达,所以不妨就就此“矢量”来顶替。
  矢量在切空间中的表示虽是协变矢量,而当余切空间受到的象征即是逆变矢量。
  以只有微分结构也无度量结构的时,我们还足以定义一种“场”,便是当列一点高达且足以将TM(m,
n)中之素映射到TM(p,
q)中,即可以用一个m阶协变n阶逆变的张量映射及一个p阶协变q阶逆变的张量,或者使前的对之后的见来说,便是以一个m+n阶张量映射也一个p+q维张量。
  于坐标变换下,上述情节都可以有所明显的转移规则而休会见引起歧义。
  但,比较好玩之凡如果是休坐标变换,比如对准曾经一般的映射F:
TM(1)→TM(1),似乎便杀不便推广到自由的TM(m, n)→TM(p,
q)上,除非映射是线性映射,那么可以操作意义上找到合理的外推。


脚,在如此的上空及引入度量结构,且未要求该度量是黎曼的,从而得以是芬斯勒度量。

假若时空的心路具有如下Finsler形式:

心胸和内积的关联是十分有意思的。
  可以说,内积包含了胸怀,因为矢量Vμ同自我之内积就是它的模长的平方,这是内积与胸襟的契合点:〈Vμ,
Vμ〉=|Vμ|2
  在传统的Finsler几哪中,从度量到内积的得方式是这么的:

图片 1

  对于黎曼度量,上市左侧的度规张量只是位置xμ的函数,从而与矢量yμ无关,因此流形切空间中矢量的内积只跟切空间所在位置的度规张量相关,也就是说内积是概念在切丛上之。
  但于Finsler几何中,左侧的度规张量不但与位置xμ连锁,还和矢量yμ相关,从而现在矢量之间的内积不但与插手内积的个别单矢量以及切空间所在位置相关,还同某个第三着的矢量相关,从而内积是概念在该节丛上之,而非切丛。
  通过简单的推理我们好知晓,如果要保证传统内积的定义,那么只能以内积放到节丛上,从而此题材无法避免。
  但,内积的概念自己是由更中得来的,而本来的更中定义在切丛还是节丛上连没强烈的验证,虽然涉世中都是概念在切丛而无节丛上的,所以我们好适量地放弃某些既定经验,特别是不曾写篇的经历,来布局一个定义在节丛上的内积。
  可,反过来说,我们为堪放弃一些既定的稿子经验,从而选择其他一样修路。
  这么一来,问题即怪有意思了——假定内积不是本着如之,会什么?

内部第一有些是民俗的黎曼型度量,后者为对黎曼型度量的距离,从而结成Finsler度量。

由纯粹几哪里直观来说,内积可以为发挥为这么一个物:
  矢量V1μ在矢量V2μ大势直达之黑影长度和V2μ长度的积,就是V1μ和V2μ的内积。
  采用这几乎哪里直观的概念,在黎曼几哪中,我们好证明V1μ到V2μ的内积和V2μ到V1μ的内积是如出一辙之,从而内积是对准如之。
  但,在Finsler几哪里下,这种针对称性就受打破了:

如此这般的Finsler度量一般的话是格外麻烦直接求解的,于是我们这边而:h非常小,从而拥有高阶项都可忽略

  在这个定义着,“投影”被定义也从V2μ的端点到V1μ达到有一样接触之离太短,则该点就是V2μ到V1μ的影子位置。值得注意的是,对于极端一般化的Finsler流形,上述的样子而转的话,将给出完全不同的定义结果,因为于绝一般化的Finsler度量中,并无要求如下等式的起:

这样的话,会否计带来一定之方便,比如度量的平方(这个当Finsler几何中于度量本身又常用):

  当然,我们还可以挑选将上述定义做一个“代数化”,考虑一个无限小变化,从而V1μ变化到V2μ=V1μ+dVμ,那么这上述内积的概念在无边小范围外足以让发挥也更简明的款式:

图片 2

每当Riemann几哪里中,上述两种植样式之概念是相当价格的。
  如齐定义后,我们当然就收获了从V1μ到V2μ的内积的定义,且这样定义之内积虽然是未对如的,但可抱几何直观——虽然几哪里直观这个要求于真的几何法看来是一个谣言,但自身个人觉得于拿内积从切丛搬至节丛要凭谱。
  现在内积为一个TM(1)×TM(1)→TM(0)的照射(并非由TM(2)→TM(0)的投射),并记否〈V1μ,
V2μ〉。这样的内积不满足对称性,而且貌似也未饱双线性,因为它是高度方向依赖之——这为是Finsler几何和Riemann几何太充分之分,Riemann几哪里从可以在部分通过坐标变换来成Minkowski几何,后者是主旋律无关的。但非Riemann的Finsler几哪无论如何都不容许通过坐标变换变成Minkowski几哪里,从而为尽管决然是大势依赖之了——在传统Finsler微分流形中,这种趋势依赖性体现于内积被定义在节丛上,从而我们老都待一个老三方矢量来作为“依赖方向”,而如今这种倾向依赖性体现在内积算符的匪对如和非双线性上。


于这基础及,我们当好于余切丛上啊定义内积,只要经协变矢量与逆变矢量的对偶性即可。
  可是由于内积本身强烈依赖让矢量,从而对张量来说即使未存内积的合理性外推。
  事实上,在Riemann几哪中,内积原本是概念在TM(1)×TM(1)上之,但鉴于其拿内积外推到了度规张量,后者的含义远较“内积”本身宽泛与增长,从而使得TM(m)→TM(m-2)的投射成为可能。
  因此,度规本身是一个比内积具有更丰富内涵之几何实体。
  而本,我们所有的可是是一个二目算符〈,〉:
TM(1)×TM(1)→TM(0),从而并无能够举行这样简单的外推,因为这算符既然不满足线性要求,那就算无可知透过简单的上空直积来取推广。
  为这,对于张量的“缩并”(原意是TM(m, n)指定两只因标缩并以赢得TM(m-1,
n-1),这里与了开展)必须以与内积不同之定义方式,并保管在返回Riemann几哪后好倒退及Riemann几何的结果。
  对如此的“缩并”目前个人认为比较适合的凡透过对指标球的积分来获取,只不过对于积分体元来说,似乎尚从未叫起一个比较好的定义。
  很肯定,在紧接着内积失去对如与双线性这有限只重大特色后,度规张量也失去了定义,而缩并也就是跟内积分道扬镳了。这里充满了各种陷阱,每一个还蛮有或是的这种内积的定义方式失效,从而只能回到用内积定义在节丛从而继续维持对称性与双线性的长处但以不得不引入第三在矢量的弱点,这个Finsler微分流形的覆辙上来。

然后,我们来拘禁Clifford代数中的一个特性:

产生了内积后,我们本来而咨询这么一个题材:现在之牵连是啊?
  所谓联络,是以有点切空间被之矢量输运到隔壁点切空间中的一个照,从而得以被这样标记:

图片 3

  我们得进一步看关系对切空间受到的矢量来说是线性的,从而就来:

此间Q是一个二次型,且易看到它们便是胸襟的平方(假定Clifford代数定义在一个享有度量结构的几哪流形上)。

  于哪些规定联络的有血有肉形式方面,Riemann几哪里用的适配条件是对准度规张量的协变微分为零星。可我们现在从未有过度规张量,从而只能利用其它一样种植概念方式。
  另一方面,在传统的Finsler微分几哪中,我们可以小心到于十分挺一近乎Finsler流形上,连接两点的自平行曲线(即通常所说的“直线”)和连两碰之太缺曲线非常可能无是一模一样久直线,也就是说在Finsler流形上相似不存“连接两接触最为短缺的是直线”这样的几乎何直观和几哪里经验。可要是我们要求及时点持续保障,会怎样呢?
  要求立刻点持续保持,就等于是说要求由平行曲线必须是最最值曲线,即下面两单方程必须同时建立:

Finsler几何当然不是二次型度量的,所以无克直接动用上述Clifford代数结构,从而传统的Finsler几哪里用如下形式之概念在节丛上的内积:

  这样,引入辅助0等级齐次对称张量

图片 4

和度量F是同等级齐次的,我们得叫有联络:

而这种概念的败笔,就是鲜只流形上矢量的内积还在于第三独矢量的动向(因为是概念在节丛上的),这点自己吗是生接触反传统的。

更是,利用预设联络对V来说是线性的,引入上述辅助张量的迎接:

这就是说,如果我们这边强行以Clifford型内积,会赢得什么为?

暨支援-1阶齐次张量:

极端简便易行的,当然是一直行使如下形式的内积定义:

咱们好来:

图片 5

设进一步考虑到此矢量Vμ用作方向在用不应当显含其针对性坐标的微分,那么点的结果可以利用Cμνλ的-1阶齐次的特点而赢得结果:

只是,我们还了解,Clifford型内积的代表其实为并无唯,比如下面就几只在二次型Q的图景下是相当价格的:

  可见,定义依赖让输运方向的线性的关系函数还是得起的。
  这里,联络的第一有的及习俗Riemann几哪里上之克氏副是平的,而第二局部受到之-1阶齐次张量在Riemann几哪里中恒为零,从而是Finsler几哪上所特有的一部分——这点在风俗的Finsler几哪中呢是这么。
  更有趣的凡,由于-1阶齐次函数的表征,我们得以掌握就第二片段其实可以趁机及一个随便的参数n而未改动结果,因此今联系事实上可以写啊:

图片 6

这里的次片以形式上大爱为丁回想Riemann几哪里中之扰率,但真相上随即两头却是不行无雷同之,我们实在还好引入一个独自的反对称张量Tμνλ与Vμ的积TμνλVλ来当扰率存在如不影响结果。
  由于联系现在仰让方向,从而联络对于输运方向一般是非线性。但对此输运的矢量却是线性的,从而这样的关联可以针对各种张量定义(协变张量的协变微分这里曾经让闹,而逆变张量的协变微分则可以经对偶性得到)。而且,也是因为联系对输运方向是非线性的,从而现在天然地就是见面并发扰率(而不管需引入上述提及的不予称扰率张量):

然而对于Finsler度量,上述几只相彼此之间是免等于的,有其对于一些Finsler度量,如果未饱大一流齐次,而是弱一路齐次,那么此时咱们发出:

此处后的涵盖联络的部分易给来了扰率算符:

图片 7

  显然,现在扰率的面世是由于度量的来头依赖性而本来引入的,并不需要如Riemann几何中那么样额外地给出和度规无关之不予称有作为扰率。
  进一步我们得定义Riemann曲率张量:

遂点式子中之矢量差有Q(u-v)就更换得非常玄妙了,到底是u-v还是v-u?

进而有:

此地,我们引入第二个假设:Finsler的内积是非对易的。

得看到,现在本是张量的扰率和曲率,现在还改成了张量性算符,即如让出方向,便可以被起由当时片个样子所确定的一个矢量或者张量。
  如果我们发了缩并算子,那么就算可以采用Riemann曲率算符给出Ricci曲率算符Rμ(Aμ),接着又使缩并算子来给出Ricci曲率标量。
  从花样达到来说,现在线性部分代表切丛纤维内的投射,而当函数参数的蝇头独样子虽净是流形上的,从而以小和底流形在形式上加以了分别。
  相比传统Finsler微分几哪,我们发现许多拄让第三正值矢量而定义的曲率张量还没有了,比如Flag曲率等等。
  但为未可知说啊得都尚未,毕竟现在有着的几哪都定义在切丛上,从而现在若是开物理的话,意义也就是再次明白了——我们在风俗Finsler微分几何中并无确定就第三正在矢量的物理意义是啊,只能为出各种假定。

那么,现在,我们就是下如下形式之内积来谈谈:


图片 8

嗯,大致就是整理成这么了吧。

此内积的概念在L为黎曼型度量的当儿自然回归到黎曼型内积,而以非黎曼型的Finsler度量下,则会吃闹不同的结果——特别是,如果Finsler度量具有强一品齐次性,那么是内积是指向如之;但如果只发生死一等齐次性,那么这内积非对如,非对如的一些足领略为扰率。


脚我们就此|V|来代表流形上矢量V在上马所说之Finsler型度量的黎曼有的作用下的长度,从而对弱Finsler流形,上述内积可以为起如下形式:

正文遵守撰写共享CC BY-NC-SA
4.0商事
**

图片 9

透过以协议,您得享并修改本文内容,只要您守以下授权条款规定:姓名标示
非商业性无异于方式分享
具体内容请查阅上述协议声明。


本文禁止所有纸媒,即印刷于纸之上的任何组织,包括但未杀转载、摘编的别样利用和衍生。网络平台如需转载必须同自家联系确认。

发了胸怀,我们得来拘禁流形上的极值曲线:


图片 10

倘爱简书,想使下充斥简书App的语句,轻戳这里~~
<small>私人推荐订阅专题:《有意思的章》、《严肃码匠圈》</small>

和从平行曲线:

图片 11

里风偏导是针对坐标的偏导,而换分符号在此地表示针对矢量部分的偏导,联络函数对亚单变量是一致流齐次的。

若果我们要求极值曲线与自平行曲线在另外情形下还等,那么就算可抱联络的达:

图片 12

于弱Finsler极限下就是时有发生(上标V表示是V的函数):

图片 13

其中

图片 14

从而就产生(注意对第二独参数的同一品级齐次要求):

图片 15

其中

图片 16

足见到,这么选择的联系函数,对于片个参数还是平等号齐次的,算是一个不胜好的性能。更距离的话,对于方向矢量V不是线性的如果止是如出一辙品级齐次,而对让输运矢量A确实线性的。

此形式当然是勿唯一的,尤其对于某些量到底是选A还是V,其实有大怪的任意性。这里根本考虑的要么关于第二独参数的同等阶段齐次要求,接着就是尽可能要受输运的矢量的意图简单,从而一切的繁杂只体现在倾向的选取上。

自从最后的表达来拘禁,联络函数的率先码的第一部分是风黎曼引力项,第二宗之率先有的凡人情专业场项。第一项与亚项之第二局部则还是引力与规范场的耦合项,且第一码的亚片段于选取传统规范场形式之上自动消失。

一旦规范场的有些,在加以速度之表达式中,我们可看粒子运动的切矢量的长短也常事反复还模为1,从而第一件是引力加速度,第二起是规范场导致的加快度,第三宗则是和速度的老三等项有关,从而会于闹快速移动下的高能修正,因此若是模型是对的,那么我们可预料在高能下会发出不同的粒子行为。第四桩在传统专业场下自动消失从而不考虑。

关于联络函数最后之一对,则是一个非对称项,可以说是扰率,这里不考虑。

连通下,让咱谈谈一个百般有意思也特别有难度,同时也是一个试验性的话题:上述是流形上之曲率,是不怎么?

更加,曲率标量R现在凡啊?


出于我们今天销了原本Finsler几哪定义在节丛上的度规张量,所以于怎样做内积是平等件非常不便办的事。

就我们可由此极端开始之计定义两独矢量的内积,但对此再次常见的张量,恐怕是无能为力的。

为这,这里我们采取如下方案:

图片 17

里曲面dΩ是流形上的单位球面,即指标球,而矢量n就是自从球心指向单位球面的单位向量。

通过上述积分得到的标量T,在黎曼几乎哪中及张量T对下标的缩并得到的标量之间,只差一个由于流形维度决定的系数。

如果我们以分子于积函数拓展为一个n阶张量和n个单位矢量构成的函数,那么这积分的表征,就是只要该数中带有奇数软只单位矢量,那么这积分为0;如果带有偶数破只,那么会取得不零的结果,其中要齐花样之次赖显示可以于来张量的缩并。

比方在弱Finsler流形上,这个特性会有所不同:由于单位矢量被度量的h部分做了火上浇油,从而产生或会见在奇数蹩脚项中养非零部分。

专程,当我们考虑的凡专业场形的弱Finsler流形时,这种“激化”由标准矢量场A给出。

之所以,如果我们应用上述积分形式来当张量缩并的方案以来,那么我们便可持续讨论在苟齐框架下之流形曲率的问题了。

以简单起见,我们现一经上述弱Finsler流形的黎曼度量部分是Minkowsky的,从而现在流形的联络函数可以写吧:

图片 18

本我们着想交错协变微分(弱Finsler极限下):

图片 19

紧接下,对那个考虑前面所说之积分。

第一,将U与A取为眼前所说的单位矢量做积分,接着再于结荚以及矢量V一起做缩并,就可以获得如下结果:

图片 20

其间上标(1)的有的自场强H与一个单位矢量的一头积分,上标(2)的局部来场强H与区区单单位矢量的并积分。

及时东西是未是看在老坏眼熟?

我们以正式矢量场A及其场强F代入:

图片 21

因此,在当作用量之早晚,在备空间积分并忽略边界项后只是得:

图片 22

公看,和风俗习惯规范场的作用量就不同一个经常反复系数,从而得以当颇具规范场形式之弱Finsler流形当黎曼有吗闵氏度量的时候吃起之就算是规范场。

当黎曼有非是闵氏度量时候,我们也堪做一样的操作,此时会面取得黎曼部分对应的广义相对论的Ricci标量,上述标准场强,以及规范场部分及黎曼引力部分的耦合项。

唯独,就跟粒子运动有于快状态下会和习俗黎曼几哪里出差异一样,对于黎曼引力部分无为零星之状,规范场和引力场的耦合的款式和风俗习惯的悬殊,因此于高能情况下也是可以证明的。


此间要要指出的少数凡,上述计算是几乎接触非常不谨慎的地方。

重大就对于缩并用的积分的精打细算,这个匡以欧氏几何上足为出所要的结果,在黎曼几哪上呢得以,但于时空这种赝黎曼几何,则是是一个无穷大发散的,将之无穷大发散扣除后的片部分,可以叫出所要之结果。

可是这种“正规化”为什么可以举行,则就是一致种随意的取舍,目前并不知道什么依据——或许是经Wick转动,从时空转动到欧氏空间,然后开积分,再转移回来,这倒是格外传统的量子场论中之所以过的一手。

一头,即便是黎曼几何上没问题,这个积分当Finsler几哪里下是否还成立,这便无明了了。当然,这里处理的凡弱Finsler几哪里,所以可能还是实惠之吧。


末是有的讨论。

虽与紧致化是针对蜷缩的额外维做展开后止落一阶项一样,这种弱Finsler几何的办法吧是本着Finsler度量做微扰后仅得到展开的同样阶项,两者在这个想及是同一之,随后的歧异就体现于弦论是对准所有额外维的黎曼几何做拍卖,而Finsler几哪里则是本着持有非黎曼度量的四维Finsler时空做拍卖。

及片量子引力的派(比如这次吴岳良院士所祭的起郭汉英等老人我国物理学家开始便之所以的Lorentz群规范场的门)中将广义相对论中当流形联络的引力变为纤维主丛联络的法门不同,这里不再以外延几哪里转化为内涵几哪,而是反过来,将本用作内蕴的纤维丛性质的规范场视为外延的心胸上之Finsler型变化,从而是以内涵几何转化为外延几哪里。

弦论利用额外维来做这种由内而外的变动,其实也是一个设法。

自然矣,至于最后会免可知做成,这个另说,或许这个模型始终为只是是一个Toy罢了。

再就是,这里时空之胸怀似乎是定死的,完全无深受带荷粒子所带的力荷的影响,这种针对有物质一视同仁的性状,显然会让出无带来电粒子的作为也跟带电粒子一样这种怪诞的业务。因此,或许莫过于状况时空之心胸会趁机在其上移动的粒子的某些性能而更改,也要是模型不过实在就是偏偏是一个Toy罢了——个人手上支持被后世。

而且,这里肯定让起了高能下截然不同之所作所为,这我就好有挑战——因为简单的尝试大约就是能够把当时卖到底否掉了吧。

当为来不行有些可怜有些之或,我们找到了联合引力与规范场的框架,科科~


正文遵守编著共享CC BY-NC-SA
4.0共谋

通过以协议,您可以享受并修改本文内容,只要您守以下授权条款规定:姓名标示
非商业性平方式分享
具体内容请查阅上述协议声明。

正文禁止任何纸媒,即印刷于纸之上的尽组织,包括但不制止转载、摘编的外利用及衍生。网络平台如需转载必须跟自我联系确认。


而爱简书,想要生充斥简书App的语句,轻戳这里~~
私人推荐订阅专题:《有意思的文章》、《严肃码匠圈》

相关文章